Располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Если разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова, то получится квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.
Магический, или волшебный квадрат это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2.
Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием Ло-шу и равносильны магическому квадрату.
В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.
Магических квадратов 2*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90º или на 180° таких квадратов 8.
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). гравюреАльбрехта Дюрера1514 Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (), в квадрате из угловых клеток (), в квадратах, построенных «ходом коня» (и), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (и). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат
Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.
Составление Магического квадрата Начертив квадрат, разграфлённый на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд, как показано на рисунке. Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше)
Магического квадрата Пифагора Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения.
Магические квадраты привлекают к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».
… математические истины бессмертны, не подвержены тлению и остаются одинаковыми вчера, сегодня и вечно
Эрик Темпл Белл (1883-1960)
Департамент образования и науки Кемеровской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
« Новокузнецкий транспортно-технологический техникум »
Магические квадраты (устный журнал)
Наймушина Кристина Андреевна,
Мелков Максим Сергеевич
«Историческая»
1 страница
Магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства .
«Познавательная»
2 страница
- Магический, или волшебный квадрат - это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1.
Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат увеличением всех чисел квадрата на одно и то же число
M =15
M =21
Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат отражением относительно осей симметрии
Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат отражением относительно осей симметрии
Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат отражением относительно осей симметрии
Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат поворотом вокруг центра
«Практическая»
3 страница
Квадраты нечетного порядка
- Строим, квадрат ABCD с 25 клетками и временно дополняем его до симметричной ступенчатой фигуры со ступеньками в одну клетку.
- В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху вниз - направо 25 целых чисел от 1до 25.
- А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере - на пять. Так, в соответствии с этим правилом переносим эти числа…
Квадраты порядка, кратного четырем
- Разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке).
- Выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2.
- В пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра заданного квадрата.
- Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.
«Исследовательская»
4 страница
Талисманы Талисман Луны
Защита информации Шифрование текстов
О И Р М Е О С Ю В Т А Ь Л Г О П
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
П Р И Л Е Т А Ю В О С Ь М О Г О
Судо́ку - это головоломка-пазл с числами, ставшая в последнее время очень популярной. В переводе с японского «су» - «цифра», «доку» - «стоящая отдельно».
Эксперименты в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.
Испытание урожайности 4 сортов пшеницы
«Занимательная»
5 страница
Познание характера человека:
квадрат Пифагора
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Тайны магических квадратов. Автор работы:ЮневаЕлизаветаАлександровна Место выполнения работы:с.Солдато-Александровское, МОУ «СОШ № 6с.СолдатоАлександровского», 6 «а» класс Научный руководитель: Денисова Наталья Валерьевна, учитель математики МОУ «СОШ № 6 с.Солдато-Александровского»
2 слайд
Описание слайда:
Введение «Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии». Леонард Эйлер Магические квадраты… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.
3 слайд
Описание слайда:
Цель проекта: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления; выяснить различные способы составления магических квадратов; изучить области их применения. Задачи проекта: 1. Познакомиться с историей появления и названиями магических квадратов; 2.Изучить известные способы заполнения магических квадратов; 3.Выяснить области применения магического квадрата. Тема исследования: заполнение магических квадратов; Объект исследования: магический квадрат; Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро
4 слайд
Описание слайда:
В ходе работы были использованы следующие методы: поисковый метод (использование справочной и учебной литературы, а также информационных ресурсов глобальной сети Интернет); практический метод (составление магических квадратов на основе полученных знаний); исследовательский метод (составление психологического портрета личности по квадрату Пифагора).
5 слайд
Описание слайда:
История появления магического квадрата Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, в 15 в. О магических квадратах узнали европейцы. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат Дюрера изображен на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты. В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.
6 слайд
Описание слайда:
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу. Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим
7 слайд
Описание слайда:
Применение магических квадратов Когда я рассмотрела способы составления магических квадратов, меня заинтересовала область их применения. Она показалась мне довольно таки интересной. Очень популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Ну, и, конечно же, в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат. Составлю магический квадрат для себя.
8 слайд
Описание слайда:
Я родилась 10 ноября 2004 года Складываем числа дня месяца и года рождения, получаем первое рабочее число 9. Далее складываем цифры первого рабочего числа и получаем второе рабочее число 9. Из первого рабочего числа вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения, так получается третье рабочее число: 9-2=7. четвертое рабочее число получаем из суммы цифр третьего рабочего числа: 7 Чертим квадрат 3 на 3. Из наших двух строк считаем количество единиц в числах – вписываем в первый квадрат. Вторая ячейка содержит двойки, третья – тройки и так далее. «111» – личность положительная, характер устойчивый. «2» - я человек чувствительный к изменениям в атмосфере, «4»- у меня отличное здоровье, «77»- обладаю всем – хорошим и плохим. Имею вкус, хорошо рисую, очень талантлива. В случае неприятностей могу выйти сухой из воды. «99»- умна от рождения, знания даются легко. 111 4 77 2 - - - - 99
9 слайд
Описание слайда:
Ещё одной традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны) и окружается специальными символами
10 слайд
Описание слайда:
Виды магических квадратов Магических квадратов 2*2 не существует. Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90 или на 180 градусов
11 слайд
Описание слайда:
Алгоритм составления магического квадрата 3х3 1) Записать цифры в том порядке, как показано на рисунке: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2) Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей: 1 и 9, 3 и 7: 9 2 7 4 5 6 3 8 1 3) Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Таким образом, мы получим магический квадрат, магическая сумма которого (т.е. сумма чисел в любой строке, в любом столбце и на каждой из диагоналей) равна 15.Направление значения не имеет, главное сохранить порядок следования чисел.
12 слайд
Описание слайда:
Квадрат Ло–шу. Магический квадрат 3-го порядка из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман Ло-шу) представляется матрицей 3x3 . Общий метод построения квадратов неизвестен. Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата. Квадраты могут быть: - нечетными, то есть состоять из нечетного числа клеток, - четно-четные, то есть порядок равен удвоенному четному; - четно-нечетные, то есть порядок равен удвоенному нечетному.
13 слайд
Описание слайда:
Квадрат четвертого порядка. Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).
14 слайд
Описание слайда:
Дьявольский магический квадрат. Дьявольский магический квадрат - магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях. Такие квадраты называются ещё пандиагональными. Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует.
Из глубины веков Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими – магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.
Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n×n, заполненная натуральными числами от 1 до n 2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты чётного и нечётного порядка(в зависимости от чётности n).
Самый «старый» из дошедших до нас магический квадрат – таблица Ло шу (около 2200 г. до н. э.)
Магический квадрат 4-го порядка, был известен ещё древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов)
Квадрат Дюрера имеет размер 4×4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна
Оказывается, 34 равны и суммы других четвёрок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата, а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат
Как построить магический квадрат? Поиском способов составления магических квадратов многие математики. Известные на сегодня правила построения таких квадратов делятся на три группы в зависимости от порядка квадрата. Однако общего метода построения до сих пор не существует.
Все натуральные числа от 1 до 25 запишем в клетках по диагонали (по 5 в ряд) так, чтобы получился диагональный квадрат
Выделим в центре квадрат размером 5×5. Он и составит основу будущего магического квадрата
Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесём внутрь – к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток
Магический квадрат готов
Заполним клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствуют закрашенным клеткам
Выделенные на первом шаге клетки заполним пропущенными числами в порядке возрастания, двигаясь справа налево и снизу вверх. Магический квадрат построен
Рассмотрим способы построения магического квадрата любого чётного порядка. Во всех случаях таблицу n×n заполняют слева направо и сверху вниз натуральными числами от 1 до n 2 в их естественном порядке. Затем по определённому правилу переставляют числа в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим.
Разделим квадрат, заполненный числами от 1 до 64, на квадраты 4-го порядка
В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата закрасим в шахматном порядке по две клетки
Для каждой из отмеченных клеток выделим тем же цветом симметричную ей относительно вертикальной оси
Число, стоящее в каждой из шестнадцати закрашенных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки
Построение квадрата завершено
Для примера возьмём квадрат 10×10. Разделим заполненный числами от 1 до 100 квадрат на квадраты 5-го порядка
В левом верхнем квадрате закрасим разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце по две клетки из первой группы и по одной из второй и третьей. Одинаковым цветом выделим клетки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных
Клетки, симметричные клеткам первой группы относительно вертикальной оси, закрасим таким же цветом
Число, стоящее в каждой из отмеченных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки
Содержимое каждой клетки второй группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси квадрата
Содержимое каждой клетки третьей группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси квадрата
36
Вопросы Изучая способы построения магических квадратов, я поняла, что важно знать их постоянные, т. е. сумму чисел в любой строке, столбце или на диагонали. Конечно, если квадрат построен и значение n невелико, то сумму можно вычислить. А А что делать, если квадрат ещё не построен? И Или нужно проверить, является ли данный квадрат магическим? И как составить сам квадрат, не зная его постоянной?
МБОУ «Вожегодская сш»
Магический квадрат
Занятие математического кружка в 5 классе
Цель работы:
Познакомиться с магическими квадратами.
1. Узнать историю возникновения квадратов.
2. Исследовать свойства квадратов.
3. Узнать правила заполнения квадратов.
3. Научиться правильно и быстро заполнять магический квадрат 3 на 3.
Формируемые УУД
Познавательные: доказывать, делать выводы, строить логически обоснованные рассуждения.
Регулятивные: определять цель, проблему деятельности; выдвигать версии; самоконтроль и коррекция.
Коммуникативные: излагать своё мнение, организовывать работу в паре (задавать вопросы, вырабатывать решение).
Личностные: уважительное отношение к одноклассникам, осознание необходимости в получении новых знаний.
Ход занятия
1. Какие из записанных на доске понятий нам известны:
- Математический софизм (доказательство с ошибкой, которую нужно найти)
- Математический парадокс (утверждение, которое можно рассматривать и как истинное, и как ложное)
- Лист Мёбиуса (топологическая фигура, имеющая одну бесконечную сторону)
- Магический квадрат
Тема нашего занятия «Магический квадрат»
Начну с предания, согласно которому китайский император Ию, живший четыре тысячи лет назад, увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире. Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Попробуйте и вы его определить.
Найдите сумму чисел, которые изображены кружками, в каждой строке, столбце и диагонали
Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15.
Именно такой квадрат в математике и называют магическим. Свойства магических квадратов и в Древнем Китае, и в средневековой Европе считались волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед.
На гравюре немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (1514 год) тоже изображён квадрат. Докажите, что он магический.
Сумма цифр в каждой строке, столбце, диагонали равна 34.
В этом квадрате есть ещё интересные свойства. Найдите сумму цифр в квадратах 2 на 2, во всех угловых клетках.
А сейчас, когда мы немного узнали о том, что же такое магический квадрат, попробуйте сформулировать цель нашего занятия. (Научиться заполнять). Задачи? (Узнать правило, потренироваться).
Как составить магический квадрат?
Число клеток вдоль одной из сторон квадрата обозначается буквой n и называется порядок квадрата. Существует квадрат любого порядка, кроме 2-го. Самый простой (тривиальный) - квадрат 1-гопорядка, состоящий из одной клетки. В простейшие магические квадраты вписываются натуральные числа от 1 до n2 + 1
Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали магического квадрата называется магической постоянной
M
.
Магическая постоянная n и определяется формулой: 
Найдите магическую постоянную для квадрата 3-го порядка (15), 4-го порядка (34), 5-го порядка (65).
Мы начнем с составления простейшего магического квадрата 3-го порядка. Мы знаем, что суммы всех чисел по горизонтали, вертикали и диагонали равны 15. Составьте все возможные суммы троек чисел от 1 до 9, дающие в результате 15.
Какое число встречается чаще всего? (5 - 4 раза) Значит, число 5 должно быть на пересечении 4-ёх рядов таблицы. Где оно должно быть? (В центре таблицы). Остальные числа распределите сами.
Какие квадраты получились?
Если “ магический” квадрат 4х4 обернуть вокруг прямоугольной рамки, можно обнаружить еще ряд свойств.
суммы четырех чисел вокруг рамки в любом направлении равны 34
сумма четырех чисел, которые встречаются в каждом углу с внешней и в каждом углу с внутренней стороны также равна 34
сумма четырех чисел одного цвета - 34
если складывать числа по спирали по часовой стрелке или против часовой стрелки вокруг рамки, начав в любом месте - 34.
Подведём итоги. Достигли ли мы цели?
Ресурсный круг. Что нового узнали, свои впечатления о занятии. Мы передавали руг другу тетраэдр - это геометрическое тело тоже обладает необычными свойствами. А какими - узнаем на одном из занятий кружка.
Раздаточный материал
| Магический квадрат
n - порядок квадрата Магический квадрат, n = 3 | Магический квадрат n - порядок квадрата М - магическая постоянная квадрата Магический квадрат, n = 3 9 = 1 + 5 + 9, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = 2 + 5 + 8, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = ______________. |
